Теория оценивания

Теория оценивания — раздел математической статистики, решающий задачи оценивания непосредственно не наблюдаемых параметров сигналов или объектов наблюдения на основе наблюдаемых данных. Для решения задач оценивания применяется параметрический и непараметрический подход. Параметрический подход используется, когда известна математическая модель исследуемого объекта и характер возмущений и требуется лишь определить в ней неизвестные параметры. В этом случае используются метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов. Непараметрический подход используется для изучения объектов неизвестной структуры и с неизвестными возмущениями. Теория оценивания применяется в приборах для физических и других измерений, при моделировании физических, экономических, биологических и других процессов.

Параметрический подход

Постановка задачи

Пусть данные наблюдения x = (x1,x2,…,xn) являются случайными величинами с совместной плотностью распределения вероятностей P (x|λ), зависящей от информативных параметров λ1,λ2,…,λm с неизвестными значениями: P(x|λ)=P(x1,x2,…,xn | λ1,λ2,…,λm). Задача оценивания заключается в нахождении оценок информативных параметров ^λ = (^λ1, ^λ2, … , ^λm) в виде функций, задающих стратегии нахождения оценок по наблюдениям: ^λj = ^λj (x), j = 1,2, … ,m.

Байесовский подход

Оцениваемые параметры являются случайными величинами с совместной предварительно известной априорной плотностью вероятности z(λ). Для минимизации ошибок оценивания вводится функция потерь g(^λ, λ), зависящая от оценок ^λ и истинных значений λ оцениваемых параметров. В этом случае целью является минимизация математического ожидания функции потерь – среднего риска: R(^λ) =∫g(^λ, λ) φ(^λ|x) P(x|λ) z(λ) dx dλ d^λ. Здесь φ(^λ|x) – условная плотность вероятности принятия решения об оценке ^λ при данных наблюдения x.

Непараметрический подход

В этом случае класс вероятностных распределений не может быть описан с помощью конечного числа параметров. В этом случае оптимальные оценки определяются как функционалы от распределений вероятностей наблюдения.

Читайте также:  Торговая марка

Примеры

  • В радиолокаторе для определения расстояния до объекта необходимо оценить промежуток времени между моментами передачи и приема радиолокационного сигнала, отраженного от объекта наблюдения. В этом случае информативными параметрами являются амплитуда, частота, временной сдвиг относительно выбранного момента времени. Эти параметры желательно оценить с минимальной ошибкой.
Оцените статью
Financial-Helper.RU
Добавить комментарий