Биномиальная модель оценивания опционов.

Биномиальная модель оценивания опционов является широко распространенным и с точки зрения прикладной математики достаточно простым и очевидным численным методом расчета цены американского опциона. Под ценой опциона Кол мы понимаем сумму денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право купить в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене.Аналогично для опциона Пут ценой является сумма денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право продать в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Указанный выше будущий момент называется моментом экспарации опциона. Очевидно, что в момент экспарации цены опционов Кол и Пут равняются:

C = Max (S−K,0)
P = Max (K−S,0)
(1)

Где

S-стоимость акции в момент экспарации;
K-заранее известная цена, по которой покупается (Кол) или продается (Пут) акция, т.н.страйк.

В момент покупки опциона мы, конечно, не знаем, какова будет цена акции в момент экспарации. Предполагается, что эта цена является реализацией, значением, некоей случайной величины, а цена опциона является математическим ожиданием известной, вышеприведенной функции, описывающей цену опциона в момент экспарации с учетом дискаунта. Если обозначить через p(S)плотность распределения этой случайной величины, то цены европейских опционов Кол и Пут без учета дискаунта можно вычислить по формулам:

C=∫K∞(S−K) p (S) dS
P=∫0S (K−S) p (S) dS
(2)

Таким образом, единственное, что надо знать для вычисления цены опционов-это плотность распределения будующей цены. К сожалению, это единственное не является таким уж маленьким и простым. Блэк и Шольц постулировали, что распределение цены акции является лог-нормальным, то есть логарифм цены акции имеет нормальное распределение. Это предположение лежит в основе всей современной теории опционов. Таким образом, в соответствии с гипотезой Блэка -Шольца плотность распределения будущей цены акции имеет вид:

p (S) = (1/ Sσ√2π) e−(ln⁡S−μ)2/2σ2
(3)

Где

μ - математическое ожидание логарифма цены акции;
σ - среднеквадратическое отклонение логарифма цены акции;

Из предыдущих формул следует, что цены опционов без учета дискаунта равняются:

C = eσ2+μ Lp (2 − ln⁡K+μ)/σ) − KLp ((−ln⁡K+μ) / σ)
P = −eσ2 Lp ((−σ2−ln ⁡K+μ) / σ) + KLp (−(−ln⁡K+μ) / σ)
(4)

Где:

Lp (x) =∫x−∞(1/√2π) e−(u2/2)du
-известная функция Лапласа,кумулятивная функция нормального распределения.

Предположение о том, что будущая цена акции описывается лог-нормальным распределением следует из более общего предположения о том, что процесс изменения цены акции во времени является диффузионным процессом с двумя постоянными параметрами: сдвигом μ0 и диффузией σ0, называемой в финансах волатильностью, то есть справедливо уравнение:

dS = μ0Sdt + σ0S2dW (t)
(5)
Где:
W(t) -Винеровский процесс с единичной дисперсией.
μ0=rd− rf
rd -безрисковая процентная ставка
rf -дивидендная процентная ставка
В соответствии с формулой Ито x = ln⁡(S) удовлетворяет уравнению:
dx = (μ0−σ20/2) dt + σ0dW(t)
(6)
Из этой формулы непосредственно следует, что в момент времени t от покупки опциона x(t) = ln ⁡(S(t)) является нормальной величиной , математическое ожидание и средне-квадратическое отклонение которой равняются:
μ = ln⁡S0+(μ0−σ20/2)t
σ = σ0√t
(7)
Где:
S0 - известная цена акции в момент покупки опциона.
Как известно, математическое ожидание любой функции U(t,x(t)) от времени и траектории диффузионного процесса удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
∂U / ∂t = μ0∂U / ∂x + σ20 / 2∂2 / U∂x2
(8)

Следует иметь в виду, что в уравнении (8) время отсчитывается не от того момента, когда заключается сделка, а от момента экспарации. Решением уравнения (8) с начальными условиями (1) являются уравнения (4), в которых подставлены соответствующие параметры из уравнений (7). Эти решения являются хорошо известными формулами Блэка-Шольца, позволющими вычислить цены европейского Кола и Пута при очевидном учете дискаунта, то есть после умножения на e−rdt. Для численного решения уравнения (8) можно воспользоваться соответствующей разностной схемой. В простейшем случае первая и вторая частные производные аппроксимируются следующими конечными разностями:

∂U(t,x) / (∂t = U(t+δt,x)−U(t,x)) / δt
∂U(t,x) / ∂x = (U(t,x+δx) − U(t,x−δx)) / 2δx
2U(t,x)∂x2 = (U(t,x+δx)+U(t,x−δx)−2U(t,x)) / δx2
(9)

Подставив формулы (9) в (8) , получим следующую расчетную формулу, позволяющую перейти от времени t к t+δt:

U (t+δt,x) = U (t,x) (1−σ20δt / δx2) + 0.5U (t,x + δx) (μ0δt/δx + σ20 δt/δx2) + 0.5 U(t,x − δx) (−μ0δt/δx + σ20δt /δx2)
 
(10)

Отметим, что формула (10) относится к т.н. явным разностным схемам, в которых значения функции на последующем слое находится непосредственно по значениям на предыдущем слое. В т.н. неявных схемах для нахождения значений функции на последующем слое приходится решать систему линейных уравнений. Преимуществом явной схемы является уменьшенное по сравнению с неявной количество вычислений. Недостаток заключается в том, что такая схема может оказаться неустойчивой, что и происходит , например, при использовании биномиального метода для опционов с барьерами. Для реализации (10) необходимо выбрать два параметра: шаг по времени δt и шаг по пространству δx. В биномиальном методе выбирается лишь шаг по времени. Точнее выбирается количество шагов n от 0 до времени экспарации, а шаг по времени равняется:

δt = t/n
(11)

Шаг по пространству выбирается таким образом, что для перехода от предыдущего шага к последующему использовались не три значения функции, а лишь два. Собственно метод и называется байномал из-за этого обстоятельства. Для этого принимается, что:

1 − σ20 δt / δx2 = 0

Из этой формулы следует, что шаг по пространству равняется:

δx = σ0 √δt
(12)

С учетом (12) схема вычислений (10), реализованная в байномиале имеет вид:

U (t+δt,x) = 0.5U (t,x+δx) (((μ0√δt)/ σ0) + 1) + 0.5U (t,x−δx) (−((μ0√δt /) σ0)+1)
(13)

Формула (13) получена без каких-либо вероятностных соображений, исходя из хорошо известных методов численного решения дифферециальных уравнений в частных производных. Однако ее легко можно интерпретировать на языке теории вероятности. Действительно, из формулы (13) следует, что цена опциона в последующий момент времени является математическим ожиданием цен опциона в двух соседних узлах сетки, ниже на один шаг и выше на один шаг. Вероятности перехода от этих узлов вверх и вниз являются соответствующими коефициентами в формуле (13). То есть

pup = 0.5(μ0√δt / σ0 + 1)
pdown = 0.5(−μ0√δt / σ0+1)
(14)

Если определять пространственные узлы не по логарифмам цен акций, а по самим ценам, то верхние и нижние значения цен акций связаны со значением, откуда происходит движение зависимостями:

Sup = Seδx
Sdown = Se−δx
(15)

Интересно отметить, насколько искусственно и не просто выводятся формулы (14) и (15), составляющие основу биномиального метода, в т.н. финансовой математике, и, в частности, в работах авторов метода. Отметим также, что соответствии с формулой (13) в биномиальном методе используется не вся прямоугольная сетка с узлами по времени и пространстве, а т.н. треугольное дерево, в основании которого лежит момент времени, для которого и вычисляется цена опциона, а на каждом временном шаге значения функции считаются лишь в половине пространственных узлов. Очевидно, что рассмотренную схему вычислений можно использовать и для европейского опциона. Но поскольку в этом случае имеется явная аналитическая формула (Блэка-Шольца) делать это нецелесообразно. В случае американского опциона после получения значения цены опциона по формуле (13) производится сравнение его со значением, полученным при ранней экспарации, то есть разности цены акции и страйка для Кола и разности страйка и цены акции для Пута. В случае превышения этими разностями цены опциона, последняя заменяется соответствующей разностью.