Отношение предпочтения в теории потребления — это формальное описание способности потребителя сравнивать (упорядочивать по желательности) разные наборы товаров (потребительские наборы). Чтобы описать отношение предпочтения, не обязательно измерять желательность каждого потребительского набора в некоторых единицах измерения, следует только подать любой метод сравнения таких наборов (порядковый подход). Отношение предпочтения является, наряду с бюджетным ограничением, базовым понятием при формальной постановке задачи максимизации полезности (задачи о выборе потребителя).

Альтернативный количественный подход требует предоставления каждому потребительскому набору определенной (числовой) полезности. Примером содержательного предоставления каждому набору некоторого «количества полезности» является вероятность достижения определенных целей при владении набором. Количественный подход накладывает более жесткие предположения о потребителе и применяется реже.

Пространство товаров

Пусть n   — число имеющихся товаров, товары пронумерованы от 1 до n. Предположим, что все товары являются произвольно делимыми. Каждый потребительский набор описывается вектором x=(x1,x2,...,xn). Таким образом, потребительские наборы отождествляем с точками пространства Rn, которое назовем пространством товаров.

Часто пространство товаров сужают до определенного множества X⊂Rn, чаще всего за X принимают неотъемлемый ортант Rn+. Неотъемлемость элементов вектора x означает, что каждый товар может присутствовать (xi>0) или отсутствовать (xi = 0) в потребительском наборе, но не рассматриваются ситуации, когда потребитель избавляется от определенного количества товара.

Отношение (слабого) предпочтения

Отношение предпочтения (отношение слабого предпочтения) — это рефлексивное, полное и транзитивное (бинарное) отношение ≥ к пространству товаров X. Итак, ≥ удовлетворяет аксиомам:

(A1) ∀x∈X, x ≥ x (рефлексивность)

(A2) ∀x,y∈X, x ≥ y∨y ≥ x (полнота)

(A3) ∀x,y,z∈X выполняется x≥y∧y≥z ⇒ x≥z (транзитивность)

Свойство рефлексивности является формальным следствием полноты, аксиома (A1) представлена ​​отдельно для удобства.

Пара (X,≥) называется полем преимуществ. x≥y означает, что потребитель предпочитает набор x по сравнению с набором y или эти наборы являются равноценными для потребителя; читается так: «x преобладает над y», «x слабо преобладает над y» или «x не хуже y».

Отношение безразличия и строгого предпочтения

Отношение предпочтения позволяет ввести два дополнительных отношения на пространстве товаров:

  • Отношение безразличия: x ~ y <=> x ≥ y∧y ≥ x. Запись x ~ y означает, что эти наборы являются равноценными для потребителя, читается как «x равноценно y», «x находится в отношении безразличия к y».
  • Отношение строгого предпочтения: x > y <=> x ≥ y∧¬ (y>x). Запись x>y означает, что набор x является для потребителя лучше набора y, читается как «x строго преобладает над y», «x лучше y».

Из аксиомы полноты и приведенных определений отношения безразличия и строгого преимущества следует, что при ∀x,y∈X выполняется ровно одно из отношений x~y, x>y или y>x.

Отношение безразличия и строгого преимущества имеют такие свойства:

  • Отношение > является иррефлексивнным, то есть не существует такого x∈X, что x>x
  • Отношение > является транзитивным, то есть x>y∧y>z => x > z
  • x ≥ y∧y > z=>x > z
  • x > y∧y ≥ z=>x > z
  • отношение безразличия является отношением эквивалентности, то есть удовлетворяет свойствам
    • рефлексивности
    • транзитивности
    • симметричности

Поскольку отношение безразличия является отношением эквивалентности на X, то оно разбивает X на классы эквивалентности, называемые классами равнодушия. Каждый такой класс состоит из попарно безразличных наборов.

Дополнительные свойства отношения предпочтения

Аксиомы (А1), (А2), (А3) внедряют отношение порядка в классах безразличия в пространстве товаров X. В большинстве случаев сравнение потребительских наборов обладает также дополнительными свойствами. Зачастую это свойства монотонности, непрерывности и выпуклости.

Монотонное отношение предпочтения

Монотонность отношения предпочтения означает, что потребитель отдает предпочтение большим наборам над меньшими. Это свойство соответствует поведению потребителей в большинстве ситуаций. Свойство строгой монотонности формулируют как аксиому ненасыщенности потребителя.

Непрерывное отношение предпочтения

Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набор x по сравнению с набором y, то он также предпочтет наборам, близким к y, наборы, близкие к x.

Из непрерывности следует, что, перемещаясь от набора хуже произвольно выбранного набора y до набора лучше y, по дороге всегда наткнемся на набор, безразличный по отношению к y.

Если отношение предпочтения является монотонным и непрерывным, то классы безразличия будут гиперповерхностями. В случае двух товаров (то есть X=R2+) Классы безразличия называют кривыми безразличия.

Неоклассическая система предпочтений

Система предпочтений, включающая в себя строгое, нестрогое отношение предпочтения и отношение безразличия, называется неоклассической, если:

  1. Отношение строгого предпочтения асимметрично и отрицательно транзитивно
  2. отношение нестрого предпочтения полно и транзитивно
  3. Отношение безразличия является отношением эквивалентности (рефлексивно, симметрично и транзитивно)
  4. Нестрогое предпочтение эквивалентно отрицанию обратного строго предпочтения
  5. Отношение безразличия эквивалентно отрицанию прямого и обратного нестрого предпочтений.

Функция полезности

Понятие отношения предпочтения полезно в теоретических исследованиях. Недостатком при рассмотрении практических задач является отсутствие встроенного эффективного метода сравнений потребительских наборов (за исключением особых случаев, например, лексикографическое отношение предпочтения). Такой метод вводится с помощью функции полезности, связанной с отношением предпочтения.

Неформально говоря, функция полезности присваивает каждому потребительскому набору определенное число (полезность) так, что лучшему набору присваивается большее число, а наборам, находящихся в отношении безразличия — то же число. Кривые безразличия отношения предпочтения являются линиями уровня функции полезности.

Достаточные условия существования функции полезности, связанной с отношением предпочтения, формулирует теорема Дебре.