Прибыль страховой компании - это разница между страховыми взносами клиентов и выплатами в случае наступления страховых случаев. Доходность принято считать основным показателем успешной деятельности подразделения или компании в целом, который в дальнейшем учитывается ее руководителями при начислении премий сотрудникам.

Выпишем условия, при которых страховая компания в среднем будет прибыльна. Рассмотрим случай, когда страховая компания полностью возмещает застрахованый актив, то есть q = 1.

Ожидаемый доход компании в расчете на одного клиента в этом случае составит величину:

( (1-π) r-π ) x(r) (1)

Будем придерживаться предположения, что все клиенты страховой компании одинаковы. Итак, при определенных условиях страхования они все вместе будут страховаться в одинаковых объемах, или уклоняться вообще от страхования. Это позволяет рассматривать вопрос о прибыльности страховой компании с точки зрения взаимоотношений компании и одного клиента.

Из (1) следует, что страховая компания будет прибыльной (в среднем), если одновременно выполняются два условия: 1) клиент страхует хотя бы часть своего актива, то есть: x (r) > 0 (2); 2) ожидаемый страховой платеж клиента компании превышает ожидаемую страховую компенсацию компании клиенту, то есть: (1-π) r > π (3); Теорема о равновесии и ее следствие, когда q = 1, дают условия, при которых клиент склоняется к страхованию.

Вспомним, что, согласно следствием из теоремы о равновесии, если q = 1, то:

((1-π) / π) r > x" (0) x"(A) ⇒ x* = 0 (4) ((1-π)/π) r < u" (qA) u" ((1-r)A) ⇒ x* = A (5) ( u"(qA)) / (u"( (1-r)A )) < ((1-π) / π) (r < x" (0)) / (x" (A)) ⇒ 0 < x* < A (6)

Сочетая (6) и (3), делаем вывод, что условия прибыльности страховой компании в среднем будут такие:

1 < ((1-π)/π ) r < x"(0) x" (A) (7)

Стоит обратить внимание на интересную особенность. Сравнение формул (5), (3) и (7) дает основания утверждать, что в случае выполнения условий, достаточных для того, чтобы владелец актива страховал его полностью, страховая компания будет в среднем убыточной.

Этот вывод, кстати, подтверждается расчетами по табл.2.

Числовой пример

Для упрощения расчетов будет введено дополнительное предположение: все клиенты одинаковы, то есть имеют одинаковые функции полезности и вероятности страховых случаев. Оставим основные параметры модели клиента неизменными по сравнению с примером, который рассматривался выше, то есть: А = 20000; вероятность страхового случая π = 0.0001, удельный страховой платеж
r = 0.001,
удельное страховое вознаграждение
q = 1. Система ценностей лица, которое страхуется, описанна в табл. 1. Особенностями системы ценностей лица, которое может воспользоваться услугами страховой компаниии, является то, что наиболее болезненными для нее будут потери последних единиц актива (20 ютилив за тысячу из последних пяти). Каждая из следующих пяти единиц и потеря первых единиц - наименее болезненна. В отличие от модели клиента удельный страховой платеж уже не фиксируется и не является объектом выбора.

Остатка актива после страхового случая.
0 20 0
1 20 20
2 20 40
3 20 60
4 20 80
5 20 100
6 10 110
7 10 120
8 10 130
9 10 140
10 10 150
11 5 155
12 5 160
13 5 165
14 5 170
15 5 175
16 1 176
17 1 177
18 1 178
19 1 179
20 1 180

Если клиент не страхуется совсем, то он будет по-прежнему иметь, актив объемом 20000 при отсутствии страхового случая, и ничего не иметь, если страховой случай произойдет. С точки зрения полезности, он будет иметь 180 ютилив с вероятностью 0,9999 и ничего не иметь с вероятностью 0,0001.

Ожидаемая полезность составит:

0,9999 х 180 + 0,0001 х 0 = 179,982.

Если клиент страхует 4000, то при отсутствии страхового случая у него остается:

20000 - 4000 х 0,001 = 19,996, а в случае страхового случая - 4000 руб., полезность первой суммы согласно табл.1., Составит 179,996, второй - 80. Отсюда, ожидаемая полезность равна 179,996 х 0,9999 + 80 х 0,0001 = 179,986. Таким образом, для лица с функцией полезности, которая отражена в таблице 1 и страхование объемом 4000 является более привлекательным по сравнению со случаем когда лицо вообще не страхуется.

Страховые платежи (r) и ожидаемый доход страховой компании, приходящаяся на одного клиента.
0 2,00
1 0,00
2 1,50
3 3,00
4 4,50
5 5,00
6 5,00
7 6,00
8 7,00
9 8,00
10 6,75
11 5,00
12 5,50
13 6,00
14 6,50
15 7,00
16 7,50
17 8,00
18 8,50
19 9,00
20 4,75

Теорема окончательно доказано на числовом примере на основе таблицы.